Trigonometrie Beispiele

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Schritt 1

Ersetze die $2 \sec^{2} (θ)$ durch $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

Schritt 4

Setze $u = \tan^{2} (θ)$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

Schritt 5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Schritt 6

Addiere $2$ und $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + 2 u + 3$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 u$ heraus.

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - (- 2 u)$ heraus.

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Schritt 7.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 9

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 10

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (u - 3) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 3, - 1$

Schritt 12

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = \tan^{2} (θ)$ in die gelöste Gleichung.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Schritt 13

Löse die erste Gleichung nach $\tan (θ)$ auf.

$\tan^{2} (θ) = 3$

Schritt 14

Löse die Gleichung nach $\tan (θ)$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 14.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Schritt 14.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Schritt 14.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 15

Löse die zweite Gleichung nach $\tan (θ)$ auf.

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Schritt 16

Löse die Gleichung nach $\tan (θ)$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Entferne die Klammern.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

Schritt 16.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 16.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\tan (θ) = \pm i$

Schritt 16.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (θ) = i$

Schritt 16.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (θ) = - i$

Schritt 16.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (θ) = i, - i$

Schritt 17

Die Lösung von $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ ist $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Schritt 18

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

Schritt 19

Löse in $\tan (θ) = \sqrt{3}$ nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 19.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $60$ .

$θ = 60$

Schritt 19.3

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 180 + 60$

Schritt 19.4

Addiere $180$ und $60$ .

$θ = 240$

Schritt 19.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 19.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 19.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 19.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 19.6

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 20

Löse in $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 20.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- 60$ .

$θ = - 60$

Schritt 20.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = - 60 - 180$

Schritt 20.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.4.1

Addiere $360 °$ zu $- 60 - 180 °$ .

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

Schritt 20.4.2

Der resultierende Winkel von $120 °$ ist positiv und gleich $- 60 - 180$ .

$θ = 120 °$

Schritt 20.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 20.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 20.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 20.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 20.6

Addiere $180$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.6.1

Addiere $180$ zu $- 60$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 60 + 180$

Schritt 20.6.2

Subtrahiere $60$ von $180$ .

$120$

Schritt 20.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 120$

Schritt 20.7

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 21

Löse in $\tan (θ) = i$ nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (i)$

Schritt 21.2

Die inverse Tangente von $\arctan (i)$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 22

Löse in $\tan (θ) = - i$ nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- i)$

Schritt 22.2

Die inverse Tangente von $\arctan (- i)$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 23

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 24

Fasse die Lösungen zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.1

Führe $60 + 180 n$ und $240 + 180 n$ zu $60 + 180 n$ zusammen.

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 24.2

Führe $120 + 180 n$ und $120 + 180 n$ zu $120 + 180 n$ zusammen.

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$