Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- 30$ .

$2 θ = - 30$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = - 30$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = - 30$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- 30}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- 30}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{- 30}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $- 30$ durch $2$ .

$θ = - 15$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 θ = 360 + 30 + 180$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 30 + 180 °$ .

$2 θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von $210 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 30 + 180$ .

$2 θ = 210 °$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 210 °$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 210 °$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{210 °}{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{210 °}{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{210 °}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $210 °$ durch $2$ .

$θ = 105$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (2 θ)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 2 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{360}{2}$

Schritt 6.4

Dividiere $360$ durch $2$ .

$180$

Schritt 7

Addiere $180$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere $180$ zu $- 15$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 15 + 180$

Schritt 7.2

Subtrahiere $15$ von $180$ .

$165$

Schritt 7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 165$

Schritt 8

Die Periode der $\sin (2 θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 105 + 180 n, 165 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$