Trigonometrie Beispiele

$\tan (u) - \sec (u) = - \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$- \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ mit $\frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)}$ .

$- (\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)} \cdot \frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)})$

Schritt 3

Kombinieren.

$- \frac{\cos (u) (1 - \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))$ um.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 (1 - \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) \cdot 1 + \sin (u) (- \sin (u))}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Schritt 6

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Schritt 7

Kombinieren.

$\frac{- (\cos (u) - \cos (u) \sin (u))}{1 (1 - \sin^{2} (u))}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cos (u) - (- \cos (u) \sin (u))}{1 (1 - \sin^{2} (u))}$

Schritt 8.2

Multipliziere $- (- \cos (u) \sin (u))$ .

$\frac{- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 (1 - \sin^{2} (u))}$

Schritt 9

Mutltipliziere $1 - {\sin (u)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Schritt 10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $\cos (u)$ aus $- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)$ heraus.

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $\cos (u)$ aus $- \cos (u)$ heraus.

$\frac{\cos (u) \cdot - 1 + \cos (u) \sin (u)}{{\cos (u)}^{2}}$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $\cos (u)$ aus $\cos (u) \sin (u)$ heraus.

$\frac{\cos (u) \cdot - 1 + \cos (u) (\sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere $\cos (u)$ aus $\cos (u) \cdot - 1 + \cos (u) (\sin (u))$ heraus.

$\frac{\cos (u) (- 1 + \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Schritt 11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $\cos (u)$ aus ${\cos (u)}^{2}$ heraus.

$\frac{\cos (u) (- 1 + \sin (u))}{\cos (u) \cos (u)}$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (u) (- 1 + \sin (u))}{\cos (u) \cos (u)}$

Schritt 11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + \sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 11.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (u)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin (u))}{\cos (u)}$

Schritt 11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin (u))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin (u))}{\cos (u)}$

Schritt 11.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 12

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 13

Kombinieren.

$\frac{- (1 - \sin (u))}{1 \cos (u)}$

Schritt 14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 1 - - \sin (u)}{1 \cos (u)}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - - \sin (u)}{1 \cos (u)}$

Schritt 14.3

Multipliziere $- - \sin (u)$ .

$\frac{- 1 + \sin (u)}{1 \cos (u)}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{- 1 + \sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 16.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (u)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin (u))}{\cos (u)}$

Schritt 16.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin (u))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin (u))}{\cos (u)}$

Schritt 16.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 17

Betrachte nun die linke Seite der Gleichung.

$\tan (u) - \sec (u)$

Schritt 18

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 18.1

Schreibe $\tan (u)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \sec (u)$

Schritt 18.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (u)$ an.

$\frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{1}{\cos (u)}$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (u) - 1}{\cos (u)}$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 20.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (u)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin (u))}{\cos (u)}$

Schritt 20.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin (u))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin (u))}{\cos (u)}$

Schritt 20.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Schritt 21

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (u) - \sec (u) = - \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ ist eine Identitätsgleichung