Trigonometrie Beispiele

Solve for θ in Degrees 3cos(theta)^2+cos(theta)=0
Schritt 1
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.1
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 1.2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2
Potenziere mit .
Schritt 1.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 3.1
Setze gleich .
Schritt 3.2
Löse nach auf.
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Schritt 3.2.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.2.3
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 3.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 3.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 3.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 3.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 3.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 3.2.6
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 4.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 4.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 4.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 4.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.2.3
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 4.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.4.1
Berechne .
Schritt 4.2.5
Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 4.2.6
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 4.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 4.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 4.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 4.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 4.2.8
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 6
Führe und zu zusammen.
, für jede Ganzzahl