Trigonometrie Beispiele

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

Hypothenuse $= \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

Hypothenuse $= \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Hypothenuse $= \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypothenuse $= \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Hypothenuse $= \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

Hypothenuse $= \sqrt{3 + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.4.5

Berechne den Exponenten.

Hypothenuse $= \sqrt{3 + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{3 + 9}$

Schritt 4.6

Addiere $3$ und $9$ .

Hypothenuse $= \sqrt{12}$

Schritt 4.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

Hypothenuse $= \sqrt{4 (3)}$

Schritt 4.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Hypothenuse $= \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 4.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Hypothenuse $= 2 \sqrt{3}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- 3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 6.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.3.3.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 6.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 6.3.3.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 6.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 3}{- \sqrt{3}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (θ) = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.3.4.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{- 3}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{2}{- 1}$

Schritt 9.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$\csc (θ) = - 1 \cdot 2$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\csc (θ) = - 2$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (θ) = - 2$