Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (4 x) + 6 = 5$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (4 x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (4 x) = 5 - 6$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$2 \sin (4 x) = - 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (4 x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (4 x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (4 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (4 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (4 x)$ durch $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (4 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- 30$ .

$4 x = - 30$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 30$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 30$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 30}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 30}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 30}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $4$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$x = \frac{2 (- 15)}{4}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 15}{2}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{15}{2}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$4 x = 360 + 30 + 180$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 30 + 180 °$ .

$4 x = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Schritt 7.2

Der resultierende Winkel von $210 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 30 + 180$ .

$4 x = 210 °$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 210 °$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 210 °$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{210 °}{4}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{210 °}{4}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{210 °}{4}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $210 °$ und $4$ .

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Schritt 7.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $210 °$ heraus.

$x = \frac{2 (105)}{4}$

Schritt 7.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 105}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 105}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{105}{2}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 4 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{360}{4}$

Schritt 8.4

Dividiere $360$ durch $4$ .

$90$

Schritt 9

Addiere $90$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.1

Addiere $90$ zu $- \frac{15}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{15}{2} + 90$

Schritt 9.2

Um $90$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$90 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 9.3

Kombiniere $90$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{90 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{90 \cdot 2 - 15}{2}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $90$ mit $2$ .

$\frac{180 - 15}{2}$

Schritt 9.5.2

Subtrahiere $15$ von $180$ .

$\frac{165}{2}$

Schritt 9.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{165}{2}$

Schritt 10

Die Periode der $\sin (4 x)$ -Funktion ist $90$ , sodass sich die Werte alle $90$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = \frac{105}{2} + 90 n, \frac{165}{2} + 90 n$ , für jede Ganzzahl $n$