Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(2)}^{2} - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

Ankathete $= \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

Ankathete $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

Ankathete $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 4.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Ankathete $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

Ankathete $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Ankathete $= \sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Ankathete $= \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Ankathete $= \sqrt{4 - 2}$

Schritt 4.5.5

Berechne den Exponenten.

Ankathete $= \sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - 2}$

Schritt 4.7

Subtrahiere $2$ von $4$ .

Ankathete $= \sqrt{2}$

Schritt 5

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\tan (θ) = - 1$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{- \sqrt{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{- \sqrt{2}}$

Schritt 7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$\cot (θ) = - 1 \cdot 1$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cot (θ) = - 1$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{2}{- \sqrt{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (θ) = - 1$

$\cot (θ) = - 1$

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$