Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$2 θ = - \frac{π}{3}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = - \frac{π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = - \frac{π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$2 θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$2 θ = \frac{4 π}{3}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$θ = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (2 θ)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + π$

Schritt 7.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Schritt 7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{5 π}{6}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (2 θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$