Trigonometrie Beispiele

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

Schritt 1

Subtrahiere $12 \tan (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $3 \tan (θ)$ aus $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3 \tan (θ)$ aus $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ heraus.

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) - 12 \tan (θ) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3 \tan (θ)$ aus $- 12 \tan (θ)$ heraus.

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $3 \tan (θ)$ aus $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4$ heraus.

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (θ)$ gleich $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 180 + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $180$ und $0$ .

$θ = 180$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 4.2.6

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $3 \sec^{2} (θ) - 4$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 \sec^{2} (θ) - 4$ gleich $0$ .

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sec^{2} (θ) = 4$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sec^{2} (θ) = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sec^{2} (θ) = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sec^{2} (θ)$ durch $1$ .

$\sec^{2} (θ) = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.7

Löse in $\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.7.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$θ = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.7.2.1

Der genau Wert von $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ist $30$ .

$θ = 30$

Schritt 5.2.7.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 30$

Schritt 5.2.7.4

Subtrahiere $30$ von $360$ .

$θ = 330$

Schritt 5.2.7.5

Ermittele die Periode von $\sec (θ)$ .

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Schritt 5.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.7.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.2.7.6

Die Periode der $\sec (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.8

Löse in $\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.8.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$θ = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.8.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ist $150$ .

$θ = 150$

Schritt 5.2.8.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$θ = 360 - 150$

Schritt 5.2.8.4

Subtrahiere $150$ von $360$ .

$θ = 210$

Schritt 5.2.8.5

Ermittele die Periode von $\sec (θ)$ .

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Schritt 5.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.8.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.2.8.6

Die Periode der $\sec (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 150 + 360 n, 210 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 5.2.10.1

Führe $30 + 360 n$ und $210 + 360 n$ zu $30 + 180 n$ zusammen.

$θ = 30 + 180 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.10.2

Führe $330 + 360 n$ und $150 + 360 n$ zu $150 + 180 n$ zusammen.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$ wahr machen.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Führe $180 n$ und $180 + 180 n$ zu $180 n$ zusammen.

$θ = 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$