Trigonometrie Beispiele

Solve for θ in Degrees 9sec(theta)^2tan(theta)=12tan(theta)
Schritt 1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Tangens herauszuziehen.
Schritt 4.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.3
Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 4.2.4
Addiere und .
Schritt 4.2.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 4.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 4.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 4.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 4.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 4.2.6
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.1
Setze gleich .
Schritt 5.2
Löse nach auf.
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Schritt 5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 5.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.2.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 5.2.4
Vereinfache .
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Schritt 5.2.4.1
Schreibe als um.
Schritt 5.2.4.2
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 5.2.4.2.1
Schreibe als um.
Schritt 5.2.4.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 5.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.4.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
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Schritt 5.2.4.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.4.4.2
Potenziere mit .
Schritt 5.2.4.4.3
Potenziere mit .
Schritt 5.2.4.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.2.4.4.5
Addiere und .
Schritt 5.2.4.4.6
Schreibe als um.
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Schritt 5.2.4.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 5.2.4.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 5.2.4.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 5.2.4.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.2.4.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.4.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.2.4.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 5.2.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 5.2.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 5.2.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 5.2.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 5.2.6
Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach aufzulösen.
Schritt 5.2.7
Löse in nach auf.
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Schritt 5.2.7.1
Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um aus dem Sekans zu ziehen.
Schritt 5.2.7.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.2.7.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.2.7.3
DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 5.2.7.4
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.7.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 5.2.7.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 5.2.7.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 5.2.7.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 5.2.7.5.4
Dividiere durch .
Schritt 5.2.7.6
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5.2.8
Löse in nach auf.
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Schritt 5.2.8.1
Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um aus dem Sekans zu ziehen.
Schritt 5.2.8.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.2.8.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.2.8.3
Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.
Schritt 5.2.8.4
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.8.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 5.2.8.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 5.2.8.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 5.2.8.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 5.2.8.5.4
Dividiere durch .
Schritt 5.2.8.6
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5.2.9
Liste alle Lösungen auf.
, für jede Ganzzahl
Schritt 5.2.10
Fasse die Lösungen zusammen.
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Schritt 5.2.10.1
Führe und zu zusammen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 5.2.10.2
Führe und zu zusammen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 7
Führe und zu zusammen.
, für jede Ganzzahl