Trigonometrie Beispiele

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

Schritt 1

Subtrahiere $12 \tan (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $6 \tan (θ)$ aus $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6 \tan (θ)$ aus $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ heraus.

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $6 \tan (θ)$ aus $- 12 \tan (θ)$ heraus.

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $6 \tan (θ)$ aus $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2$ heraus.

$6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (θ)$ gleich $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 180 + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $180$ und $0$ .

$θ = 180$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 4.2.6

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $\sec^{2} (θ) - 2$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sec^{2} (θ) - 2$ gleich $0$ .

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sec^{2} (θ) - 2 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec^{2} (θ) = 2$

Schritt 5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

Schritt 5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.5

Löse in $\sec (θ) = \sqrt{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.5.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$θ = arcsec (\sqrt{2})$

Schritt 5.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.5.2.1

Der genau Wert von $arcsec (\sqrt{2})$ ist $45$ .

$θ = 45$

Schritt 5.2.5.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 45$

Schritt 5.2.5.4

Subtrahiere $45$ von $360$ .

$θ = 315$

Schritt 5.2.5.5

Ermittele die Periode von $\sec (θ)$ .

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Schritt 5.2.5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.5.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.2.5.6

Die Periode der $\sec (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.6

Löse in $\sec (θ) = - \sqrt{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.6.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$θ = arcsec (- \sqrt{2})$

Schritt 5.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.6.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- \sqrt{2})$ ist $135$ .

$θ = 135$

Schritt 5.2.6.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$θ = 360 - 135$

Schritt 5.2.6.4

Subtrahiere $135$ von $360$ .

$θ = 225$

Schritt 5.2.6.5

Ermittele die Periode von $\sec (θ)$ .

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Schritt 5.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 5.2.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 5.2.6.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 5.2.6.6

Die Periode der $\sec (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.7

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.2.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 45 + 90 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$ wahr machen.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 45 + 90 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Führe $180 n$ und $180 + 180 n$ zu $180 n$ zusammen.

$θ = 180 n, 45 + 90 n$ , für jede Ganzzahl $n$