Trigonometrie Beispiele

$9 \sin (18 x) + 11 = 2$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (18 x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 \sin (18 x) = 2 - 11$

Schritt 1.2

Subtrahiere $11$ von $2$ .

$9 \sin (18 x) = - 9$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (18 x) = - 9$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (18 x) = - 9$ durch $9$ .

$\frac{9 \sin (18 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sin (18 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (18 x)$ durch $1$ .

$\sin (18 x) = \frac{- 9}{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $9$ .

$\sin (18 x) = - 1$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$18 x = \arcsin (- 1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$18 x = - \frac{π}{2}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $18 x = - \frac{π}{2}$ durch $18$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $18 x = - \frac{π}{2}$ durch $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{- \frac{π}{2}}{18}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 x}{18} = \frac{- \frac{π}{2}}{18}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{18}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{18}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{18}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{18}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{18 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$x = - \frac{π}{36}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$18 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$18 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$18 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $18 x = \frac{3 π}{2}$ durch $18$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $18 x = \frac{3 π}{2}$ durch $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{\frac{3 π}{2}}{18}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 x}{18} = \frac{\frac{3 π}{2}}{18}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{18}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{18}$

Schritt 7.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{18}$

Schritt 7.3.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3 (6)}$

Schritt 7.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 6}$

Schritt 7.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 7.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (18 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $18$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 18 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $18$ ist $18$ .

$\frac{2 π}{18}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $18$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{18}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{9}$

Schritt 9

Addiere $\frac{π}{9}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.1

Addiere $\frac{π}{9}$ zu $- \frac{π}{36}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{36} + \frac{π}{9}$

Schritt 9.2

Um $\frac{π}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{36}$

Schritt 9.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{π}{36}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{36} - \frac{π}{36}$

Schritt 9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{36}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{36}$

Schritt 9.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{36}$

Schritt 9.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $36$ .

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Schritt 9.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$\frac{3 (π)}{36}$

Schritt 9.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$\frac{3 π}{3 \cdot 12}$

Schritt 9.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 π}{3 \cdot 12}$

Schritt 9.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{12}$

Schritt 9.7

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (18 x)$ ist $\frac{π}{9}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{9}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{9}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{9}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{9}$ , für jede Ganzzahl $n$