Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \frac{4}{5}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (x) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

Ankathete $= - \sqrt{25 - 16}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $16$ von $25$ .

Ankathete $= - \sqrt{9}$

Schritt 4.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Ankathete $= - 1 \cdot 3$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

Ankathete $= - 3$

Schritt 5

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{- 3}{5}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{3}{5}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{4}{- 3}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{4}{3}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{- 3}{4}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (x) = - \frac{3}{4}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{5}{- 3}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (x) = - \frac{5}{3}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{5}{4}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{4}{5}$

$\cos (x) = - \frac{3}{5}$

$\tan (x) = - \frac{4}{3}$

$\cot (x) = - \frac{3}{4}$

$\sec (x) = - \frac{5}{3}$

$\csc (x) = \frac{5}{4}$