Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (θ)$ . Ersetze $u$ für alle $\cos (θ)$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2}$ heraus.

$u (2 u) - u = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u (2 u) + u \cdot - 1$ heraus.

$u (2 u - 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\cos (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (θ)$ gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $90$ .

$θ = 90$

Schritt 3.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 90$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $90$ von $360$ .

$θ = 270$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.2.6

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $2 \cos (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 \cos (θ) - 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 \cos (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (θ) = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (θ)$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $60$ .

$θ = 60$

Schritt 4.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 60$

Schritt 4.2.6

Subtrahiere $60$ von $360$ .

$θ = 300$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 4.2.8

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) = 0$ wahr machen.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Führe $90 + 360 n$ und $270 + 360 n$ zu $90 + 180 n$ zusammen.

$θ = 90 + 180 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$