Trigonometrie Beispiele

$4 \sin (x) = - \cos^{2} (x) + 1$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $\cos^{2} (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1$ .

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Schritt 2.1

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$4 \sin (x) - 1 + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$4 \sin (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$4 \sin (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$4 \sin (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.5

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$4 \sin (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$4 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $u$ aus $4 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $4 u$ heraus.

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 4 + u (- u)$ heraus.

$u (4 - u) = 0$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) (4 - \sin (x)) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 - \sin (x) = 0$

Schritt 3.3

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.3.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.3.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.3.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.4

Setze $4 - \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $4 - \sin (x)$ gleich $0$ .

$4 - \sin (x) = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $4 - \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - 4$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 4$

Schritt 3.4.2.3

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $4$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (4 - \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$