Trigonometrie Beispiele

$(2 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = 2 \sqrt{2}$ und $θ = \frac{5 π}{4}$ in die Formeln ein.

$x = (2 \sqrt{2}) \cos (\frac{5 π}{4})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = 2 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$x = 2 (\sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 6

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$x = - {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = - 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 9.5

Berechne den Exponenten.

$x = - 1 \cdot 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 1 \cdot 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 11

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 12

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 13.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$x = - 2$

$y = 2 (\sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 13.4

Forme den Ausdruck um.

$x = - 2$

$y = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = - 2$

$y = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Schritt 14

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - 2$

$y = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Schritt 15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - 2$

$y = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 16

Addiere $1$ und $1$ .

$x = - 2$

$y = - {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 17

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 17.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = - 2$

$y = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 17.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 2$

$y = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 17.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = - 2$

$y = - 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 17.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 2$

$y = - 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 17.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

Schritt 17.5

Berechne den Exponenten.

$x = - 2$

$y = - 1 \cdot 2$

$x = - 2$

$y = - 1 \cdot 2$

Schritt 18

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2$

$y = - 2$

Schritt 19

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(2 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ ist $(- 2, - 2)$ .

$(- 2, - 2)$