Trigonometrie Beispiele

$(4 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = 4 \sqrt{2}$ und $θ = \frac{5 π}{4}$ in die Formeln ein.

$x = (4 \sqrt{2}) \cos (\frac{5 π}{4})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = 4 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$x = 4 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 7

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 9

Addiere $1$ und $1$ .

$x = - 2 {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 10

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 10.5

Berechne den Exponenten.

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x = - 4$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 12

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = - 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 13

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$x = - 4$

$y = 4 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 14.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$x = - 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 14.4

Forme den Ausdruck um.

$x = - 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = - 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Schritt 15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 4$

$y = - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 16

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - 4$

$y = - 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Schritt 17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 18

Addiere $1$ und $1$ .

$x = - 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 19

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 19.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = - 4$

$y = - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 19.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 19.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 19.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 19.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

Schritt 19.5

Berechne den Exponenten.

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

Schritt 20

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

Schritt 21

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(4 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ ist $(- 4, - 4)$ .

$(- 4, - 4)$