Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \sin^{2} (x)$ und $b = - 1 \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $- 1 \cos^{2} (x)$ als $- \cos^{2} (x)$ um.

$| z | = \sqrt{{(- \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- \cos^{2} (x)$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{{(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{{\cos (x)}^{2 \cdot 2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4.6

Multipliziere die Exponenten in ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 4.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$

Schritt 6

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$ und $| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$ .

$\sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})))$