Trigonometrie Beispiele

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $30$ .

$θ = 30$

Schritt 4

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 180 + 30$

Schritt 5

Addiere $180$ und $30$ .

$θ = 210$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 7

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 30 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$