Trigonometrie Beispiele

$9 \cos^{2} (θ) - 4 = 0$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 \cos^{2} (θ) = 4$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $9 \cos^{2} (θ) = 4$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \cos^{2} (θ) = 4$ durch $9$ .

$\frac{9 \cos^{2} (θ)}{9} = \frac{4}{9}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cos^{2} (θ)}{9} = \frac{4}{9}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (θ)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{4}{9}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{9}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{9}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ um.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\cos (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (θ) = \pm \frac{2}{3}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (θ) = - \frac{2}{3}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (θ) = \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{2}{3}$

Schritt 7

Löse in $\cos (θ) = \frac{2}{3}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (\frac{2}{3})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arccos (\frac{2}{3})$ .

$θ = 48.1896851$

Schritt 7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 48.1896851$

Schritt 7.4

Subtrahiere $48.1896851$ von $360$ .

$θ = 311.81031489$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 7.6

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 48.1896851 + 360 n, 311.81031489 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Löse in $\cos (θ) = - \frac{2}{3}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (- \frac{2}{3})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{2}{3})$ .

$θ = 131.81031489$

Schritt 8.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 131.81031489$

Schritt 8.4

Subtrahiere $131.81031489$ von $360$ .

$θ = 228.1896851$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 8.6

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 131.81031489 + 360 n, 228.1896851 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 48.1896851 + 360 n, 311.81031489 + 360 n, 131.81031489 + 360 n, 228.1896851 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $48.1896851 + 360 n$ und $228.1896851 + 360 n$ zu $48.1896851 + 180 n$ zusammen.

$θ = 48.1896851 + 180 n, 311.81031489 + 360 n, 131.81031489 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10.2

Führe $311.81031489 + 360 n$ und $131.81031489 + 360 n$ zu $131.81031489 + 180 n$ zusammen.

$θ = 48.1896851 + 180 n, 131.81031489 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$