Trigonometrie Beispiele

$(\tan (θ) + \cot (θ)) \sin (θ) = \sec (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(\tan (θ) + \cot (θ)) \sin (θ)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ)) \sin (θ)$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) \sin (θ)$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \sin (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Schritt 2.3

Multipliziere $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \sin (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ und $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Schritt 2.3.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Schritt 2.3.3

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Schritt 2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Schritt 2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (θ)$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Schritt 4.2

Um $\cos (θ)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\cos (θ)}$ als $\sec (θ)$ um.

$\sec (θ)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(\tan (θ) + \cot (θ)) \sin (θ) = \sec (θ)$ ist eine Identitätsgleichung