Trigonometrie Beispiele

$\tan (75 °)$

Schritt 1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\tan (30 + 45)$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 3

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 4

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 5

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Schritt 6

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Kombinieren.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Schritt 7.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.9

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.10.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.10.2

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.10.3

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 7.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 7.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 7.11

Schreibe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.12

Multipliziere $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.13.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.13.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Schritt 7.13.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Schritt 7.13.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Schritt 7.13.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 7.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.13.3

Addiere $3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 + 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 7.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.14.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 7.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 7.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 7.14.4.4

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$3.73205080 \dots$