Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Dezimalform:

$0.38268343 \dots$