Trigonometrie Beispiele

$(\cot (θ) - 1) (2 \sin (θ) + 1) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (θ) - 1 = 0$

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 2

Setze $\cot (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\cot (θ) - 1$ gleich $0$ .

$\cot (θ) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Löse $\cot (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (θ) = 1$

Schritt 2.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$θ = arccot (1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Der genau Wert von $arccot (1)$ ist $45$ .

$θ = 45$

Schritt 2.2.4

Die Kotangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 180 + 45$

Schritt 2.2.5

Addiere $180$ und $45$ .

$θ = 225$

Schritt 2.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (θ)$ .

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Schritt 2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 2.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 2.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 2.2.6.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 2.2.7

Die Periode der $\cot (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze $2 \sin (θ) + 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 \sin (θ) + 1$ gleich $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 \sin (θ) + 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (θ) = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- 30$ .

$θ = - 30$

Schritt 3.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 + 30 + 180$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.6.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Schritt 3.2.6.2

Der resultierende Winkel von $210 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

Schritt 3.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.2.8

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.8.1

Addiere $360$ zu $- 30$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 30 + 360$

Schritt 3.2.8.2

Subtrahiere $30$ von $360$ .

$330$

Schritt 3.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 330$

Schritt 3.2.9

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cot (θ) - 1) (2 \sin (θ) + 1) = 0$ wahr machen.

$θ = 45 + 180 n, 225 + 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Führe $45 + 180 n$ und $225 + 180 n$ zu $45 + 180 n$ zusammen.

$θ = 45 + 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$