Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Teile

$\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 3

Der genau Wert von

$\tan (\frac{π}{4})$ ist

$1$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 4

Der genau Wert von

$\tan (\frac{π}{6})$ ist

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 5

Der genau Wert von

$\tan (\frac{π}{4})$ ist

$1$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 6

Der genau Wert von

$\tan (\frac{π}{6})$ ist

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7

Vereinfache

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Mutltipliziere

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ mit

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7.1.2

Kombinieren.

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere

$3$ mit

$1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.1

Faktorisiere

$3$ aus

$3 \cdot 1$ heraus.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 7.7

Mutltipliziere

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Schritt 7.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.9

Vereinfache.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.10.1

Potenziere

$3 - \sqrt{3}$ mit

$1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.10.2

Potenziere

$3 - \sqrt{3}$ mit

$1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 7.10.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 7.10.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 7.11

Schreibe

${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ als

$(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.12

Multipliziere

$(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.13.1.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.13.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.13.1.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.13.1.4

Multipliziere

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.13.1.4.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.13.1.4.2

Mutltipliziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.13.1.4.3

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.13.1.4.4

Potenziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Schritt 7.13.1.4.5

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 7.13.1.4.6

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Schritt 7.13.1.5

Schreibe

${\sqrt{3}}^{2}$ als

$3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.13.1.5.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{3}$ als

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 7.13.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 7.13.1.5.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 7.13.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.13.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 7.13.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Schritt 7.13.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 7.13.2

Addiere

$9$ und

$3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.13.3

Subtrahiere

$3 \sqrt{3}$ von

$- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$12 - 6 \sqrt{3}$ und

$6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.14.1

Faktorisiere

$6$ aus

$12$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.14.2

Faktorisiere

$6$ aus

$- 6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.14.3

Faktorisiere

$6$ aus

$6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.14.4.1

Faktorisiere

$6$ aus

$6$ heraus.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 7.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 7.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 7.14.4.4

Dividiere

$2 - \sqrt{3}$ durch

$1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$0.26794919 \dots$