Trigonometrie Beispiele

- 4 \cos (x) = - \sin^{2} (x) + 4

$- 4 \cos (x) = - \sin^{2} (x) + 4$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

- 4 \cos (x) + \sin^{2} (x) = 4

$- 4 \cos (x) + \sin^{2} (x) = 4$

Schritt 1.2

Subtrahiere

4

$4$ von beiden Seiten der Gleichung.

- 4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 4 = 0

$- 4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 4 = 0$

- 4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 4 = 0

$- 4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 4 = 0$

Schritt 2

Ersetze

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ durch

1 - \cos^{2} (x)

$1 - \cos^{2} (x)$ .

- 4 \cos (x) (1 - \cos^{2} (x)) - 4 = 0

$- 4 \cos (x) (1 - \cos^{2} (x)) - 4 = 0$

Schritt 3

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

- 4 \cos (x) \sin^{2} (x) - 4 = 0

$- 4 \cos (x) \sin^{2} (x) - 4 = 0$

- 4 \cos (x) \sin^{2} (x) - 4 = 0

$- 4 \cos (x) \sin^{2} (x) - 4 = 0$

Schritt 3.2

Ersetze die

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ durch

1 - \cos^{2} (x)

$1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der

\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

(1 - \cos^{2} (x)) - 4 = 0

$(1 - \cos^{2} (x)) - 4 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere

4

$4$ von

1

$1$ .

- \cos^{2} (x) - 3 = 0

$- \cos^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 3.4

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

- \cos^{2} (x) = 3

$- \cos^{2} (x) = 3$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in

- \cos^{2} (x) = 3

$- \cos^{2} (x) = 3$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in

- \cos^{2} (x) = 3

$- \cos^{2} (x) = 3$ durch

- 1

$- 1$ .

\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{3}{- 1}

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{3}{- 1}

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{3}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Dividiere

\cos^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ durch

1

$1$ .

\cos^{2} (x) = \frac{3}{- 1}

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{- 1}$

\cos^{2} (x) = \frac{3}{- 1}

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{- 1}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Dividiere

3

$3$ durch

- 1

$- 1$ .

\cos^{2} (x) = - 3

$\cos^{2} (x) = - 3$

\cos^{2} (x) = - 3

$\cos^{2} (x) = - 3$

\cos^{2} (x) = - 3

$\cos^{2} (x) = - 3$

Schritt 3.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

\cos (x) = \pm \sqrt{- 3}

$\cos (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 3.7

Vereinfache

\pm \sqrt{- 3}

$\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 3.7.1

Schreibe

- 3

$- 3$ als

- 1 (3)

$- 1 (3)$ um.

\cos (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}

$\cos (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 3.7.2

Schreibe

\sqrt{- 1 (3)}

$\sqrt{- 1 (3)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

\cos (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}

$\cos (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 3.7.3

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

\cos (x) = \pm i \sqrt{3}

$\cos (x) = \pm i \sqrt{3}$

\cos (x) = \pm i \sqrt{3}

$\cos (x) = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 3.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

\cos (x) = i \sqrt{3}

$\cos (x) = i \sqrt{3}$

Schritt 3.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

\cos (x) = - i \sqrt{3}

$\cos (x) = - i \sqrt{3}$

Schritt 3.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

\cos (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}

$\cos (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

\cos (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}

$\cos (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 3.9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

x

$x$ aufzulösen.

\cos (x) = i \sqrt{3}

$\cos (x) = i \sqrt{3}$

\cos (x) = - i \sqrt{3}

$\cos (x) = - i \sqrt{3}$

Schritt 3.10

Löse in

\cos (x) = i \sqrt{3}

$\cos (x) = i \sqrt{3}$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.10.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = \arccos (i \sqrt{3})

$x = \arccos (i \sqrt{3})$

Schritt 3.10.2

Der inverse Cosinus von

\arccos (i \sqrt{3})

$\arccos (i \sqrt{3})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 3.11

Löse in

\cos (x) = - i \sqrt{3}

$\cos (x) = - i \sqrt{3}$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = \arccos (- i \sqrt{3})

$x = \arccos (- i \sqrt{3})$

Schritt 3.11.2

Der inverse Cosinus von

\arccos (- i \sqrt{3})

$\arccos (- i \sqrt{3})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 3.12

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung