Trigonometrie Beispiele

$\csc (- x) - \sin (- x) = - \cos (x) \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\csc (- x) - \sin (- x)$

Schritt 2

Da $\csc (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\csc (- x)$ als $- \csc (x)$ .

$- \csc (x) - \sin (- x)$

Schritt 3

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$- \csc (x) - - \sin (x)$

Schritt 4

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$- \frac{1}{\sin (x)} - - \sin (x)$

Schritt 5

Schreibe $- - \sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{- - \sin (x)}{1}$

Schritt 6

Addiere Brüche.

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Schritt 6.1

Um $\frac{- - \sin (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{- - \sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{- - \sin (x)}{1}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{- - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 8.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\sin (x)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\sin (x)}$

Schritt 8.4

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\sin (x)}$

Schritt 8.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 10

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 11

Kombinieren.

$\frac{- \cos^{2} (x)}{1 \sin (x)}$

Schritt 12

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 14

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$- \cos (x) \cot (x)$

Schritt 15

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 16

Multipliziere $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 17

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc (- x) - \sin (- x) = - \cos (x) \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung