Statistik Beispiele

$\begin{array}{c} Klasse & Häufigkeit \\ 10 - 13 & 1 \\ 14 - 17 & 3 \\ 18 - 21 & 4 \end{array}$

Step 1

Ermittle für jede Gruppe die Klassenmitte $M$ .

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Die untere Grenze für jede Klasse ist der kleinste Wert in dieser Klasse. Die obere Grenze für jede Klasse wiederum ist der größte Wert in dieser Klasse.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 10 - 13 & 1 & 10 & 13 \\ 14 - 17 & 3 & 14 & 17 \\ 18 - 21 & 4 & 18 & 21 \end{array}$

Die Klassenmitte ist die untere Klassengrenze plus die obere Klassengrenze dividiert durch $2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & \frac{10 + 13}{2} \\ 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & \frac{14 + 17}{2} \\ 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & \frac{18 + 21}{2} \end{array}$

Vereinfache die gesamte Spalte mit den Klassenmitten.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & 19.5 \end{array}$

Füge die Spalte mit den Klassenmitten zur ursprünglichen Tabelle hinzu.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{array}$

Step 2

Berechne das Quadrat von jeder Klassenmitte $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & {11.5}^{2} \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & {15.5}^{2} \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & {19.5}^{2} \end{array}$

Step 3

Vereinfache die $M^{2}$ -Spalte.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 \end{array}$

Step 4

Multipliziere jeden Klassenmittelpunkt zum Quadrat mit seiner Häufigkeit $f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 1 \cdot 132.25 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 3 \cdot 240.25 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 4 \cdot 380.25 \end{array}$

Step 5

Vereinfache die $f \cdot M^{2}$ -Spalte.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 132.25 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 720.75 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 1521 \end{array}$

Step 6

Bestimme die Summe aller Häufigkeiten. In diesem Fall ist die Summe aller Häufigkeiten $n = 1, 3, 4 = 8$ .

$\sum_{}^{} f = n = 8$

Step 7

Berechne die Summe der Spalte $f \cdot M^{2}$ . In diesem Fall: $132.25 + 720.75 + 1521 = 2374$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 2374$

Step 8

Bestimme den Mittelwert $μ$ .

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Bestimme die Klassenmitte $M$ für jede Klasse.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{array}$

Multipliziere die Häufigkeit jeder Klasse mit der Klassenmitte.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 1 \cdot 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 3 \cdot 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 4 \cdot 19.5 \end{array}$

Vereinfache die $f \cdot M$ -Spalte.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 46.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 78 \end{array}$

Addiere die Werte in der $f \cdot M$ -Spalte.

$11.5 + 46.5 + 78 = 136$

Addiere die Werte in der Spalte mit den Häufgkeiten.

$n = 1 + 3 + 4 = 8$

Der Mittelwert (mu) ist die Summe von $f \cdot M$ dividiert durch $n$ , was die Summe der Häufigkeiten ist.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Der Mittelwert ist die Summe der Produkte der Klassenmitten und der Häufigkeiten dividiert durch die Summe der Häufigkeiten.

$μ = \frac{136}{8}$

Vereinfache die rechte Seite von $μ = \frac{136}{8}$ .

$17$

Step 9

Die Gleichung für die Standardabweichung ist $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Step 10

Setze die berechneten Werte in $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ ein.

$S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}$

Step 11

Vereinfache die rechte Seite von $S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}$ , um die Varianz $S^{2} = 8.\overline{857142}$ zu erhalten.

$8.\overline{857142}$

Step 12

DIe Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz $8.\overline{857142}$ . In diesem Fall ist die Standardabweichung gleich $2.97609523$ .

$2.97609523$