Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x} + 3$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 \sqrt{x} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.10

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.12

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 3.2

Addiere $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$