Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x - 2 y = 7$

Schritt 1

Teile beide Seiten der Gleichung durch $2$ .

$x^{2} + y^{2} - x - y = \frac{7}{2}$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Setze ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $x^{2} - x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - x - y = \frac{7}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - y = \frac{7}{2}$

Schritt 4

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - y = \frac{7}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 6

Setze ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $y^{2} - y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - x - y = \frac{7}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{7}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 7

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 8

Vereinfache $\frac{7}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{1 + 1}{4}$

Schritt 8.2

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2}{4}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{7 + 1}{2}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.5.1

Addiere $7$ und $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 8.5.2

Dividiere $8$ durch $2$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 4$

Schritt 9

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 10

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = \frac{1}{2}$

Schritt 11

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Schritt 12

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Radius: $2$

Schritt 13