Elementarmathematik Beispiele

${(x - 3)}^{\frac{2}{3}} = 36$

Schritt 1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 3)}^{\frac{2}{3}} - 36 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ als ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 36 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 6^{2} = 0$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ und $b = 6$ .

$({(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6) ({(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6 = 0$

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Schritt 4

Setze ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6 = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} = - 6$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 3)}^{1} = {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x - 3 = {(- 6)}^{3}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$x - 3 = - 216$

Schritt 4.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 216 + 3$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $- 216$ und $3$ .

$x = - 213$

Schritt 5

Setze ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Schritt 5.2

Löse ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 3)}^{\frac{1}{3}} = 6$

Schritt 5.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Schritt 5.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Schritt 5.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 3)}^{1} = 6^{3}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x - 3 = 6^{3}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.2.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$x - 3 = 216$

Schritt 5.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 216 + 3$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $216$ und $3$ .

$x = 219$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $({(x - 3)}^{\frac{1}{3}} + 6) ({(x - 3)}^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 213, 219$