Elementarmathematik Beispiele

${(3 (\cos (27 °) + i \sin (27 °)))}^{5}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Berechne $\cos (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \sin (27 °)))}^{5}$

Schritt 1.1.2

Berechne $\sin (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \cdot 0.45399049))}^{5}$

Schritt 1.1.3

Bringe $0.45399049$ auf die linke Seite von $i$ .

${(3 (0.89100652 + 0.45399049 i))}^{5}$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 \cdot 0.89100652 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0.89100652$ .

${(2.67301957 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $0.45399049$ mit $3$ .

${(2.67301957 + 1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${2.67301957}^{5} + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $2.67301957$ mit $5$ .

$136.46167381 + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $2.67301957$ mit $4$ .

$136.46167381 + 5 \cdot 51.05150564 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $51.05150564$ .

$136.46167381 + 255.25752824 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $1.36197149$ mit $255.25752824$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.5

Potenziere $2.67301957$ mit $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot 19.09881475 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $19.09881475$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.7

Wende die Produktregel auf $1.36197149 i$ an.

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 ({1.36197149}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.8

Potenziere $1.36197149$ mit $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.10

Multipliziere $190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1)$ .

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Schritt 3.1.10.1

Mutltipliziere $1.85496636$ mit $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 \cdot - 1.85496636 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.10.2

Mutltipliziere $190.98814753$ mit $- 1.85496636$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.11

Potenziere $2.67301957$ mit $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot 7.14503363 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.12

Mutltipliziere $10$ mit $7.14503363$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.13

Wende die Produktregel auf $1.36197149 i$ an.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 ({1.36197149}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.14

Potenziere $1.36197149$ mit $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.15

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.16

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.17

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.52641132$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (- 2.52641132 i) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.19

Mutltipliziere $- 2.52641132$ mit $71.45033635$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.20

Mutltipliziere $5$ mit $2.67301957$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.21

Wende die Produktregel auf $1.36197149 i$ an.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 ({1.36197149}^{4} i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.22

Potenziere $1.36197149$ mit $4$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.23

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 3.1.23.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(i^{2})}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.23.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(- 1)}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.23.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 \cdot 1) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.24

Multipliziere $13.36509786 (3.44090021 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.1.24.1

Mutltipliziere $3.44090021$ mit $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 \cdot 3.44090021 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.24.2

Mutltipliziere $13.36509786$ mit $3.44090021$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Schritt 3.1.25

Wende die Produktregel auf $1.36197149 i$ an.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {1.36197149}^{5} i^{5}$

Schritt 3.1.26

Potenziere $1.36197149$ mit $5$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i^{5}$

Schritt 3.1.27

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (i^{4} i)$

Schritt 3.1.28

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 3.1.28.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 3.1.28.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 3.1.28.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (1 i)$

Schritt 3.1.29

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $354.27658973$ von $136.46167381$ .

$- 217.81491592 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 217.81491592$ und $45.98796809$ .

$- 171.82694782 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 4.68640802 i$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $180.51293863 i$ von $347.65347843 i$ .

$- 171.82694782 + 167.1405398 i + 4.68640802 i$

Schritt 3.2.4

Addiere $167.1405398 i$ und $4.68640802 i$ .

$- 171.82694782 + 171.82694782 i$

Schritt 4

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 5

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 6

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 171.82694782$ und $b = 171.82694782$ .

$| z | = \sqrt{{171.82694782}^{2} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Schritt 7

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 7.1

Potenziere $171.82694782$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Schritt 7.2

Potenziere $- 171.82694782$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + 29524.4\overline{9}}$

Schritt 7.3

Addiere $29524.4\overline{9}$ und $29524.4\overline{9}$ .

$| z | = \sqrt{59048.\overline{9}}$

Schritt 8

Berechne die Wurzel.

$| z | = 242.\overline{9}$

Schritt 9

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{171.82694782}{- 171.82694782})$

Schritt 10

Der inverse Tangens von $\frac{171.82694782}{- 171.82694782}$ ist $- 0.78539816$ .

$θ = - 0.78539816$

Schritt 11

Substituiere die Werte von $θ = - 0.78539816$ und $| z | = 242.\overline{9}$ .

$242.\overline{9} (\cos (- 0.78539816) + i \sin (- 0.78539816))$