Elementarmathematik Beispiele

$5 (\cos (25 °) + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Berechne $\cos (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1.1.2

Berechne $\sin (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \cdot 0.42261826) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1.1.3

Bringe $0.42261826$ auf die linke Seite von $i$ .

$5 (0.90630778 + 0.42261826 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(5 \cdot 0.90630778 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1.2.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0.90630778$ .

$(4.53153893 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $0.42261826$ mit $5$ .

$(4.53153893 + 2.1130913 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(4.53153893 \cdot 2 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1.2.4

Multipliziere.

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Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $4.53153893$ mit $2$ .

$(9.06307787 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2.1130913$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Berechne $\cos (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \sin (80 °))$

Schritt 1.3.2

Berechne $\sin (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \cdot 0.98480775)$

Schritt 1.3.3

Bringe $0.98480775$ auf die linke Seite von $i$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Schritt 2

Multipliziere $(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9.06307787 (0.17364817 + 0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $9.06307787$ mit $0.17364817$ .

$1.57378695 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $0.98480775$ mit $9.06307787$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $0.17364817$ mit $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $4.22618261 i (0.98480775 i)$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $0.98480775$ mit $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i i$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i)$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i^{1})$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{1 + 1}$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{2}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 \cdot - 1$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $4.1619774$ mit $- 1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i - 4.1619774$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4.1619774$ von $1.57378695$ .

$- 2.58819045 + 8.92538935 i + 0.73386891 i$

Schritt 3.3

Addiere $8.92538935 i$ und $0.73386891 i$ .

$- 2.58819045 + 9.65925826 i$

Schritt 4

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 5

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 6

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 2.58819045$ und $b = 9.65925826$ .

$| z | = \sqrt{{9.65925826}^{2} + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Schritt 7

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 7.1

Potenziere $9.65925826$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Schritt 7.2

Potenziere $- 2.58819045$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + 6.69872981}$

Schritt 7.3

Addiere $93.30127018$ und $6.69872981$ .

$| z | = \sqrt{100}$

Schritt 7.4

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{10^{2}}$

Schritt 7.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 10$

Schritt 8

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{9.65925826}{- 2.58819045})$

Schritt 9

Der inverse Tangens von $\frac{9.65925826}{- 2.58819045}$ ist $- 1.30899693$ .

$θ = - 1.30899693$

Schritt 10

Substituiere die Werte von $θ = - 1.30899693$ und $| z | = 10$ .

$10 (\cos (- 1.30899693) + i \sin (- 1.30899693))$