Elementarmathematik Beispiele

$4 y^{2} + 4 y - 16 x + 13 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $4 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y - 16 x + 13 = - 4 y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 x + 13 = - 4 y^{2} - 4 y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$ durch $- 16$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$ durch $- 16$ .

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 16$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 16$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 4 (y^{2})}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 16$ heraus.

$x = \frac{- 4 (y^{2})}{- 4 (4)} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 4 y^{2}}{- 4 \cdot 4} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 16$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 y$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (y)}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 16$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (y)}{- 4 (4)} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4 \cdot 4} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{- 13}{- 16}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{13}{16}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{13}{16}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = \frac{13}{16}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{13}{16} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{1}{4})}^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $\frac{1}{4}$ aus ${(\frac{1}{4})}^{2}$ heraus.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $\frac{1}{4}$ aus $4 (\frac{1}{4})$ heraus.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{13}{16} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{1}{16}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{13 - 1}{16}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $1$ von $13$ .

$e = \frac{12}{16}$

Schritt 1.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $16$ .

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = \frac{4 (3)}{16}$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ ein.

$\frac{1}{4} {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = \frac{3}{4}$

$k = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{2})$

Schritt 4