Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x e^{x} \csc (x)$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x e^{x} \csc (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x e^{x} \csc (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{x} \csc (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x e^{x}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

$4 (x e^{x} \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1))$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x e^{x} + e^{x}))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x e^{x}) + \csc (x) e^{x})$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x))) + 4 (\csc (x) (x e^{x})) + 4 (\csc (x) e^{x})$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x e^{x} (\csc (x) \cot (x)) + 4 \csc (x) (x e^{x}) + 4 \csc (x) e^{x}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$- 4 e^{x} x \cot (x) \csc (x) + 4 e^{x} x \csc (x) + 4 e^{x} \csc (x)$