Elementarmathematik Beispiele

$- x^{7} + 4 x^{5} + 8 x^{3} - x$

Schritt 1

Schreibe $- x^{7} + 4 x^{5} + 8 x^{3} - x$ als Funktion.

$f (x) = - x^{7} + 4 x^{5} + 8 x^{3} - x$

Schritt 2

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 2.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = - {(- x)}^{7} + 4 {(- x)}^{5} + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - ({(- 1)}^{7} x^{7}) + 4 {(- x)}^{5} + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{7}$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{7} \cdot (- 1 x^{7}) + 4 {(- x)}^{5} + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{7}$ mit $- 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{7} \cdot ((- 1) x^{7}) + 4 {(- x)}^{5} + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- x) = {(- 1)}^{7 + 1} x^{7} + 4 {(- x)}^{5} + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $7$ und $1$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{8} x^{7} + 4 {(- x)}^{5} + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- x) = 1 x^{7} + 4 {(- x)}^{5} + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $x^{7}$ mit $1$ .

$f (- x) = x^{7} + 4 {(- x)}^{5} + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.5

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = x^{7} + 4 ({(- 1)}^{5} x^{5}) + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.6

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- x) = x^{7} + 4 (- x^{5}) + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- x) = x^{7} - 4 x^{5} + 8 {(- x)}^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.8

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = x^{7} - 4 x^{5} + 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - (- x)$

Schritt 2.2.9

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = x^{7} - 4 x^{5} + 8 (- x^{3}) - (- x)$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- x) = x^{7} - 4 x^{5} - 8 x^{3} - (- x)$

Schritt 2.2.11

Multipliziere $- (- x)$ .

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Schritt 2.2.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- x) = x^{7} - 4 x^{5} - 8 x^{3} + 1 x$

Schritt 2.2.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- x) = x^{7} - 4 x^{5} - 8 x^{3} + x$

Schritt 3

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 3.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 3.2

Da $x^{7} - 4 x^{5} - 8 x^{3} + x$ $\neq$ $- x^{7} + 4 x^{5} + 8 x^{3} - x$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 4

Eine Funktion ist ungerade, wenn $f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 4.1

Ermittle $- f (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- x^{7} + 4 x^{5} + 8 x^{3} - x$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - (- x^{7} + 4 x^{5} + 8 x^{3} - x)$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- f (x) = x^{7} - (4 x^{5}) - (8 x^{3}) + x$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- f (x) = x^{7} - 4 x^{5} - (8 x^{3}) + x$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- f (x) = x^{7} - 4 x^{5} - 8 x^{3} + x$

Schritt 4.1.3.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- f (x) = x^{7} - 4 x^{5} - 8 x^{3} + 1 x$

Schritt 4.1.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- f (x) = x^{7} - 4 x^{5} - 8 x^{3} + x$

Schritt 4.2

Da $x^{7} - 4 x^{5} - 8 x^{3} + x = x^{7} - 4 x^{5} - 8 x^{3} + x$ , ist die Funktion ungerade.

Die Funktion ist ungerade

Schritt 5