Elementarmathematik Beispiele

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$1 + \cot^{2} (- θ)$

Schritt 2

Da $\cot (- θ)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\cot (- θ)$ als $- \cot (θ)$ .

$1 + {(- \cot (θ))}^{2}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\cot (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$1 + {(- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ an.

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ an.

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 1 \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$ mit $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 4

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ als $\csc^{2} (θ)$ um.

$\csc^{2} (θ)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung