Elementarmathematik Beispiele

$(\frac{102 - 3 q^{2}}{q + 2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ gleich $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ist mit $f (q) = 102 - 3 q^{2}$ und $g (q) = q + 2$ .

$\frac{(q + 2) \frac{d}{d q} [102 - 3 q^{2}] - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $102 - 3 q^{2}$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [102] + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) (\frac{d}{d q} [102] + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $102$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $102$ bezüglich $q$ gleich $0$ .

$\frac{(q + 2) (0 + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}] - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $- 3 q^{2}$ nach $q$ gleich $- 3 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) (- 3 \frac{d}{d q} [q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(q + 2) (- 3 (2 q)) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $q + 2$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [2]$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (\frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [2])}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (1 + \frac{d}{d q} [2])}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $2$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $q$ gleich $0$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (1 + 0)}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) \cdot 1}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{q (- 6 q) + 2 (- 6 q) - (102 - 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{q (- 6 q) + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 6 q \cdot q + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $q$ mit $q$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $q$ .

$\frac{- 6 (q \cdot q) + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $q$ mit $q$ .

$\frac{- 6 q^{2} + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $102$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 102 + 3 q^{2}}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 6 q^{2}$ und $3 q^{2}$ .

$\frac{- 3 q^{2} - 12 q - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $3$ aus $- 3 q^{2} - 12 q - 102$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 q^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- q^{2}) - 12 q - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12 q$ heraus.

$\frac{3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q) - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $3$ aus $- 102$ heraus.

$\frac{3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q) + 3 (- 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q)$ heraus.

$\frac{3 (- q^{2} - 4 q) + 3 (- 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- q^{2} - 4 q) + 3 (- 34)$ heraus.

$\frac{3 (- q^{2} - 4 q - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- q^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- (q^{2}) - 4 q - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 q$ heraus.

$\frac{3 (- (q^{2}) - (4 q) - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (q^{2}) - (4 q)$ heraus.

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q) - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.8

Schreibe $- 34$ als $- 1 (34)$ um.

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q) - 1 (34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (q^{2} + 4 q) - 1 (34)$ heraus.

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q + 34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.10

Schreibe $- (q^{2} + 4 q + 34)$ als $- 1 (q^{2} + 4 q + 34)$ um.

$\frac{3 (- 1 (q^{2} + 4 q + 34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (q^{2} + 4 q + 34)}{{(q + 2)}^{2}}$