Elementarmathematik Beispiele

${(3 + 3 i)}^{7}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$3^{7} + 7 \cdot 3^{6} (3 i) + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $3$ mit $7$ .

$2187 + 7 \cdot 3^{6} (3 i) + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $3^{6}$ mit $3$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.1

Bewege $3$ .

$2187 + 7 \cdot (3 \cdot 3^{6}) i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3^{6}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$2187 + 7 \cdot (3^{1} \cdot 3^{6}) i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2187 + 7 \cdot 3^{1 + 6} i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $1$ und $6$ .

$2187 + 7 \cdot 3^{7} i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $3$ mit $7$ .

$2187 + 7 \cdot 2187 i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $2187$ .

$2187 + 15309 i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $3$ mit $5$ .

$2187 + 15309 i + 21 \cdot 243 {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $21$ mit $243$ .

$2187 + 15309 i + 5103 {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$2187 + 15309 i + 5103 (3^{2} i^{2}) + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2187 + 15309 i + 5103 (9 i^{2}) + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2187 + 15309 i + 5103 (9 \cdot - 1) + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $5103 (9 \cdot - 1)$ .

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Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$2187 + 15309 i + 5103 \cdot - 9 + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $5103$ mit $- 9$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.11

Potenziere $3$ mit $4$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 35 \cdot 81 {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $35$ mit $81$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.13

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (3^{3} i^{3}) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 i^{3}) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 (- i)) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (- 27 i) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $- 27$ mit $2835$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.20

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 35 \cdot 27 {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.21

Mutltipliziere $35$ mit $27$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.22

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (3^{4} i^{4}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.23

Potenziere $3$ mit $4$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 i^{4}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.24

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.24.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 {(i^{2})}^{2}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.24.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 {(- 1)}^{2}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.24.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 \cdot 1) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.25

Multipliziere $945 (81 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.1.25.1

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 \cdot 81 + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.25.2

Mutltipliziere $945$ mit $81$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.26

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 21 \cdot 9 {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.27

Mutltipliziere $21$ mit $9$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.28

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (3^{5} i^{5}) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.29

Potenziere $3$ mit $5$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 i^{5}) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.30

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 (i^{4} i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.31

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.31.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.31.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.31.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 (1 i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.32

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 i) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.33

Mutltipliziere $243$ mit $189$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.34

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.35

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (3^{6} i^{6}) + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.36

Potenziere $3$ mit $6$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 i^{6}) + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.37

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 (i^{4} i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.38

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.38.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 ({(i^{2})}^{2} i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.38.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 ({(- 1)}^{2} i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.38.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 (1 i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.39

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 i^{2}) + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.40

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 \cdot - 1) + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.41

Multipliziere $21 (729 \cdot - 1)$ .

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Schritt 2.1.41.1

Mutltipliziere $729$ mit $- 1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 \cdot - 729 + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.41.2

Mutltipliziere $21$ mit $- 729$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + {(3 i)}^{7}$

Schritt 2.1.42

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 3^{7} i^{7}$

Schritt 2.1.43

Potenziere $3$ mit $7$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 i^{7}$

Schritt 2.1.44

Schreibe $i^{7}$ als $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ um.

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Schritt 2.1.44.1

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (i^{4} i^{3})$

Schritt 2.1.44.2

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Schritt 2.1.45

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.45.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Schritt 2.1.45.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Schritt 2.1.45.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (1 (i^{2} \cdot i))$

Schritt 2.1.46

Mutltipliziere $i^{2} \cdot i$ mit $1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (i^{2} \cdot i)$

Schritt 2.1.47

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (- 1 \cdot i)$

Schritt 2.1.48

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (- i)$

Schritt 2.1.49

Mutltipliziere $- 1$ mit $2187$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 - 2187 i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $45927$ von $2187$ .

$- 43740 + 15309 i - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 - 2187 i$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 43740$ und $76545$ .

$32805 + 15309 i - 76545 i + 45927 i - 15309 - 2187 i$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $15309$ von $32805$ .

$17496 + 15309 i - 76545 i + 45927 i - 2187 i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $76545 i$ von $15309 i$ .

$17496 - 61236 i + 45927 i - 2187 i$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 61236 i$ und $45927 i$ .

$17496 - 15309 i - 2187 i$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $2187 i$ von $- 15309 i$ .

$17496 - 17496 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 17496$ und $b = - 17496$ .

$| z | = \sqrt{{(- 17496)}^{2} + 17496^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $- 17496$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{306110016 + 17496^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $17496$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{306110016 + 306110016}$

Schritt 6.3

Addiere $306110016$ und $306110016$ .

$| z | = \sqrt{612220032}$

Schritt 6.4

Schreibe $612220032$ als $17496^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $306110016$ aus $612220032$ heraus.

$| z | = \sqrt{306110016 (2)}$

Schritt 6.4.2

Schreibe $306110016$ als $17496^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{17496^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 17496 \sqrt{2}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 17496}{17496})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{- 17496}{17496}$ einen Winkel im vierten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = - \frac{π}{4}$ und $| z | = 17496 \sqrt{2}$ .

$17496 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$