Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 5 x + 4 y = 46$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 5 x$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $\frac{25}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ ein.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 2

Setze ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ für $x^{2} - 5 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 5 x + 4 y = 46$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} + 4 y = 46$

Schritt 3

Bringe $- \frac{25}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{25}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} + 4 y = 46 + \frac{25}{4}$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 4 y$ an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 4.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Schritt 4.4.2.1.1.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 2)}^{2} - 4$ ein.

${(y + 2)}^{2} - 4$

Schritt 5

Setze ${(y + 2)}^{2} - 4$ für $y^{2} + 4 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 5 x + 4 y = 46$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 46 + \frac{25}{4}$

Schritt 6

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 46 + \frac{25}{4} + 4$

Schritt 7

Vereinfache $46 + \frac{25}{4} + 4$ .

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Schritt 7.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.1.1

Schreibe $46$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46}{1} + \frac{25}{4} + 4$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $\frac{46}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4} + 4$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $\frac{46}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} + 4$

Schritt 7.1.4

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} + \frac{4}{1}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.1.6

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4 + 25 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $46$ mit $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{184 + 25 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{184 + 25 + 16}{4}$

Schritt 7.4

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 7.4.1

Addiere $184$ und $25$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{209 + 16}{4}$

Schritt 7.4.2

Addiere $209$ und $16$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{225}{4}$

Schritt 8

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 9

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{15}{2}$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - 2$

Schritt 10

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(\frac{5}{2}, - 2)$

Schritt 11

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(\frac{5}{2}, - 2)$

Radius: $\frac{15}{2}$

Schritt 12