Elementarmathematik Beispiele

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 x^{2} + 40 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = 40$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{40}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (- 4)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{20}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $- 4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$d = \frac{4 (5)}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = - 5$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1600}{- 16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $1600$ durch $- 16$ .

$e = 0 - - 100$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $100$ .

$e = 100$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ ein.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$

Schritt 1.3

Setze $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ für $- 4 x^{2} + 40 x$ ein in der Gleichung $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100 + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Schritt 1.4

Bringe $100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 y^{2} - 100 y = - 100 - 100$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $25 y^{2} - 100 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 100$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 100$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 50}{25}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50$ und $25$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 50$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $10000$ durch $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$e = 0 - 100$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $100$ von $0$ .

$e = - 100$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ ein.

$25 {(y - 2)}^{2} - 100$

Schritt 1.6

Setze $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ für $25 y^{2} - 100 y$ ein in der Gleichung $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} - 100 = - 100 - 100$

Schritt 1.7

Bringe $- 100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100 - 100 + 100$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 100 - 100 + 100$ .

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Schritt 1.8.1

Subtrahiere $100$ von $- 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 200 + 100$

Schritt 1.8.2

Addiere $- 200$ und $100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100$

Schritt 1.9

Vertausche das Vorzeichen jedes Terms der Gleichung, sodass der Term auf der rechten Seite positiv ist.

$4 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y - 2)}^{2} = 100$

Schritt 1.10

Teile jeden Term durch $100$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(x - 5)}^{2}}{100} - \frac{25 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Schritt 1.11

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 5$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Schritt 5.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 x}{5} + 2 \cdot - 1 + 2$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{5} - 2 + 2$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{2 x}{5} - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + 0$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $\frac{2 x}{5}$ und $0$ .

$y = \frac{2 x}{5}$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Schritt 6.2

Vereinfache $- \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5 + 2$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Schritt 6.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2 + 2$

Schritt 6.2.1.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 2$

Schritt 6.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = \frac{2 x}{5}$ und $y = - \frac{2 x}{5} + 4$ .

Asymptoten: $y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Schritt 9