Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{2} + 30 x - 4 y + 95 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 x - 4 y + 95 = - 3 x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $30 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y + 95 = - 3 x^{2} - 30 x$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $95$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = - 3 x^{2} - 30 x - 95$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = - 3 x^{2} - 30 x - 95$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = - 3 x^{2} - 30 x - 95$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3 x^{2}}{- 4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $- 4$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 30 x$ heraus.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 (15 x)}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 (15 x)}{- 2 (2)} + \frac{- 95}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 (15 x)}{- 2 \cdot 2} + \frac{- 95}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{2} + \frac{- 95}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{2} + \frac{95}{4}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{2} + \frac{95}{4}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{3}{4}$

$b = \frac{15}{2}$

$c = \frac{95}{4}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{15}{2}}{2 (\frac{3}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{3}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{4}$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{6}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3)}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{15}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

Schritt 1.2.3.2.6

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$d = \frac{3 (5)}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.3.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot 5}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.3.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{2} \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{2} \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 5$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{95}{4} - \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{4 (\frac{3}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{2}$ an.

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{15^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{3}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{2^{2}}}{4 (\frac{3}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{4 (\frac{3}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{\frac{4 \cdot 3}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{\frac{12}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $12$ durch $4$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{95}{4} - (\frac{225}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $225$ heraus.

$e = \frac{95}{4} - (\frac{3 (75)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{95}{4} - (\frac{3 \cdot 75}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 1.2.4.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{95}{4} - \frac{75}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{95 - 75}{4}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $75$ von $95$ .

$e = \frac{20}{4}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $20$ durch $4$ .

$e = 5$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{3}{4} {(x + 5)}^{2} + 5$ ein.

$\frac{3}{4} {(x + 5)}^{2} + 5$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{3}{4} \cdot {(x + 5)}^{2} + 5$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{3}{4}$

$h = - 5$

$k = 5$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 5, 5)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{3}{4}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{4}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{\frac{12}{4}}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $12$ durch $4$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{14}{3}$

Schritt 6