Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{1}{4})}^{3 z - 1} = 16^{z + 2} \cdot 64^{z - 2}$

Schritt 1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\frac{1^{3 z - 1}}{4^{3 z - 1}} = 16^{z + 2} \cdot 64^{z - 2}$

Schritt 2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4^{3 z - 1}} = 16^{z + 2} \cdot 64^{z - 2}$

Schritt 3

Bringe $4^{3 z - 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4^{- (3 z - 1)} = 16^{z + 2} \cdot 64^{z - 2}$

Schritt 4

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$4^{- (3 z - 1)} = {(2^{4})}^{z + 2} \cdot 64^{z - 2}$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{4})}^{z + 2}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{4 (z + 2)} \cdot 64^{z - 2}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{4 z + 4 \cdot 2} \cdot 64^{z - 2}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{4 z + 8} \cdot 64^{z - 2}$

Schritt 6

Schreibe $64$ als $2^{6}$ um.

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{4 z + 8} \cdot {(2^{6})}^{z - 2}$

Schritt 7

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{6})}^{z - 2}$ .

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Schritt 7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{4 z + 8} \cdot 2^{6 (z - 2)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{4 z + 8} \cdot 2^{6 z + 6 \cdot - 2}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{4 z + 8} \cdot 2^{6 z - 12}$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{4 z + 8 + 6 z - 12}$

Schritt 9

Addiere $4 z$ und $6 z$ .

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{10 z + 8 - 12}$

Schritt 10

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$4^{- (3 z - 1)} = 2^{10 z - 4}$

Schritt 11

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{2 (- (3 z - 1))} = 2^{10 z - 4}$

Schritt 12

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 (- (3 z - 1)) = 10 z - 4$

Schritt 13

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 13.1

Vereinfache $2 (- (3 z - 1))$ .

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Schritt 13.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 2 (- (3 z - 1)) = 10 z - 4$

Schritt 13.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 (- (3 z - 1)) = 10 z - 4$

Schritt 13.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- (3 z) - - 1) = 10 z - 4$

Schritt 13.1.4

Multipliziere.

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Schritt 13.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 (- 3 z - - 1) = 10 z - 4$

Schritt 13.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (- 3 z + 1) = 10 z - 4$

Schritt 13.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- 3 z) + 2 \cdot 1 = 10 z - 4$

Schritt 13.1.6

Multipliziere.

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Schritt 13.1.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- 6 z + 2 \cdot 1 = 10 z - 4$

Schritt 13.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 6 z + 2 = 10 z - 4$

Schritt 13.2

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $10 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 z + 2 - 10 z = - 4$

Schritt 13.2.2

Subtrahiere $10 z$ von $- 6 z$ .

$- 16 z + 2 = - 4$

Schritt 13.3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 z = - 4 - 2$

Schritt 13.3.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$- 16 z = - 6$

Schritt 13.4

Teile jeden Ausdruck in $- 16 z = - 6$ durch $- 16$ und vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 16 z = - 6$ durch $- 16$ .

$\frac{- 16 z}{- 16} = \frac{- 6}{- 16}$

Schritt 13.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 16$ .

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Schritt 13.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16 z}{- 16} = \frac{- 6}{- 16}$

Schritt 13.4.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 6}{- 16}$

Schritt 13.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 16$ .

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Schritt 13.4.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$z = \frac{- 2 (3)}{- 16}$

Schritt 13.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 16$ heraus.

$z = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 8}$

Schritt 13.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 8}$

Schritt 13.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{3}{8}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = \frac{3}{8}$

Dezimalform:

$z = 0.375$