Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} e^{x} - 16 e^{x}$

Schritt 1

Setze $x^{2} e^{x} - 16 e^{x}$ gleich $0$ .

$x^{2} e^{x} - 16 e^{x} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} - 16 e^{x}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} - 16 e^{x} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 16 e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 16 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 16$ heraus.

$e^{x} (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$e^{x} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$e^{x} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$e^{x} (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4$

Schritt 3