Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$

Schritt 1

Setze $x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$ gleich $0$ .

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} + 8 + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} + 2^{3} + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 2.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 2.1.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{2} + 14 x$ heraus.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 14 x = 0$

Schritt 2.1.5.2

Faktorisiere $7 x$ aus $14 x$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (2) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (x) + 7 x (2)$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $7 x (x + 2)$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x)$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4 + 7 x) = 0$

Schritt 2.1.7

Addiere $- 2 x$ und $7 x$ .

$(x + 2) (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.8.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 2.1.8.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) ((x + 1) (x + 4)) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 1, - 4$

Schritt 3