Elementarmathematik Beispiele

$4 y^{2} + 32 x - 28 y - 15 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $32 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 28 y - 15 = - 32 x$

Schritt 1.2

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 28 y = - 32 x + 15$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 28$

$c = 0 = - 32 x + 15$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = - 32 x + 15$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 28}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 28$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 28$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 (4)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 14}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $4$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$d = \frac{2 (- 7)}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{7}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 28)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 28$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{784}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{784}{16}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $784$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$e = 0 - 49$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $49$ von $0$ .

$e = - 49$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - 49$ ein.

$4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - 49 = - 32 x + 15$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 32 x + 15 + 49$

Schritt 3.2

Addiere $15$ und $49$ .

$4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 32 x + 64$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 32 x + 64$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 32 x + 64$ durch $4$ .

$\frac{4 {(y - \frac{7}{2})}^{2}}{4} = \frac{- 32 x}{4} + \frac{64}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(y - \frac{7}{2})}^{2}}{4} = \frac{- 32 x}{4} + \frac{64}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere ${(y - \frac{7}{2})}^{2}$ durch $1$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 32 x}{4} + \frac{64}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $4$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 32 x$ heraus.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{4 (- 8 x)}{4} + \frac{64}{4}$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{4 (- 8 x)}{4 (1)} + \frac{64}{4}$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{4 (- 8 x)}{4 \cdot 1} + \frac{64}{4}$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 8 x}{1} + \frac{64}{4}$

Schritt 4.3.1.1.2.4

Dividiere $- 8 x$ durch $1$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 8 x + \frac{64}{4}$

Schritt 4.3.1.2

Dividiere $64$ durch $4$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 8 x + 16$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x + 16$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- x) + 16$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- x) + 8 (2)$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (2)$ heraus.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- x + 2)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- (x) + 2)$

Schritt 5.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- (x) - 1 (- 2))$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- (x - 2))$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 8 (x - 2)$