Elementarmathematik Beispiele

$y = 5^{x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 5^{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $5^{y} = x$ um.

$5^{y} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{y}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (5^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (5) = \ln (x)$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (5) = \ln (x)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (5) = \ln (x)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5^{x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} \cdot 5^{x}$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Schritt 4.3.3

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Schritt 4.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$