Elementarmathematik Beispiele

$31 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + 21 y^{2} - 144 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 21$ , $b = 10 \sqrt{3} x$ und $c = 31 x^{2} - 144$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3} x)}^{2} - 4 \cdot (21 \cdot (31 x^{2} - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} x))}^{2} - 4 \cdot (21 \cdot (31 x^{2} - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2

Es sei $u = 21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ . Ersetze $u$ für alle $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ .

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Schritt 1.3.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3} x$ an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3}$ an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.3.1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.2.4

Mutltipliziere $100$ mit $3$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{300 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $300 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 1.3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $300 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (75 x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - u)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.4

Ersetze alle $u$ durch $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 \cdot (31 x^{2} - 144)))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 (31 x^{2}) + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $31$ mit $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $21$ mit $- 144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} - 3024))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.5.1.5

Mutltipliziere $651$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3024$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.5.2

Subtrahiere $651 x^{2}$ von $75 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (- 576 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.6

Faktorisiere $144$ aus $- 576 x^{2} + 3024$ heraus.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $144$ aus $- 576 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere $144$ aus $3024$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 144 (21))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.6.3

Faktorisiere $144$ aus $144 (- 4 x^{2}) + 144 (21)$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{576 (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{24^{2} (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x \pm 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} x))}^{2} - 4 \cdot (21 \cdot (31 x^{2} - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2

Es sei $u = 21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ . Ersetze $u$ für alle $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ .

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Schritt 1.4.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3} x$ an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3}$ an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.2.4

Mutltipliziere $100$ mit $3$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{300 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $300 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 1.4.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $300 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (75 x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - u)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.4

Ersetze alle $u$ durch $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 \cdot (31 x^{2} - 144)))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 (31 x^{2}) + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.5.1.2

Mutltipliziere $31$ mit $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.5.1.3

Mutltipliziere $21$ mit $- 144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} - 3024))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.5.1.5

Mutltipliziere $651$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3024$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.5.2

Subtrahiere $651 x^{2}$ von $75 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (- 576 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.6

Faktorisiere $144$ aus $- 576 x^{2} + 3024$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $144$ aus $- 576 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere $144$ aus $3024$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 144 (21))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.6.3

Faktorisiere $144$ aus $144 (- 4 x^{2}) + 144 (21)$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{576 (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{24^{2} (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x \pm 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 \sqrt{3} x$ heraus.

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x) + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$ heraus.

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x) - (- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Schritt 1.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 \sqrt{3} x) - (- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ heraus.

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Schritt 1.4.8

Schreibe $- (5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ als $- 1 (5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ um.

$y = \frac{- 1 (5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Schritt 1.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} x))}^{2} - 4 \cdot (21 \cdot (31 x^{2} - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2

Es sei $u = 21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ . Ersetze $u$ für alle $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ .

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Schritt 1.5.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.5.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3} x$ an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3}$ an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.5.1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.2.4

Mutltipliziere $100$ mit $3$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{300 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $300 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 1.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $300 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (75 x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - u)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.4

Ersetze alle $u$ durch $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 \cdot (31 x^{2} - 144)))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 (31 x^{2}) + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.5.1.2

Mutltipliziere $31$ mit $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.5.1.3

Mutltipliziere $21$ mit $- 144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} - 3024))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.5.1.5

Mutltipliziere $651$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3024$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.5.2

Subtrahiere $651 x^{2}$ von $75 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (- 576 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.6

Faktorisiere $144$ aus $- 576 x^{2} + 3024$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $144$ aus $- 576 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere $144$ aus $3024$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 144 (21))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.6.3

Faktorisiere $144$ aus $144 (- 4 x^{2}) + 144 (21)$ heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{576 (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{24^{2} (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{2 \cdot 21}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x \pm 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 \sqrt{3} x$ heraus.

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x) - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 1.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$ heraus.

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x) - (12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Schritt 1.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 \sqrt{3} x) - (12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ heraus.

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Schritt 1.5.8

Schreibe $- (5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ als $- 1 (5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ um.

$y = \frac{- 1 (5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Schritt 1.5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$ in zwei Brüche.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $21$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$ heraus.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{3 (7)})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{3 \cdot 7}), - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} - \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} - \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Schritt 6

Zerlege den Bruch $\frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$ in zwei Brüche.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21})$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $21$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $3$ aus $12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$ heraus.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21})$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{3 (7)})$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}, - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{3 \cdot 7})$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} - \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3}}{21} x) + \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3}}{21} x) - (\frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$

Schritt 10

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x + \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3}}{21} x) - (\frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$

Schritt 11

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x + \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x - (\frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$

Schritt 12

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x + \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x - \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

Schritt 13