Elementarmathematik Beispiele

$2 y^{2} - 15 x - 4 y - 28 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $2 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 x - 4 y - 28 = - 2 y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 x - 28 = - 2 y^{2} + 4 y$

Schritt 1.1.1.3

Addiere $28$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$ durch $- 15$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$ durch $- 15$ .

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 15$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} + \frac{28}{- 15}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} - \frac{28}{15}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} - \frac{28}{15}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{2}{15}$

$b = - \frac{4}{15}$

$c = - \frac{28}{15}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{4}{15}}{2 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{4}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{15}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 4}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 (- 2)}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{15} \cdot \frac{1}{\frac{2}{15}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 2}{15}$ mit $\frac{1}{\frac{2}{15}}$ .

$d = \frac{- 2}{15 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.3.2.4

Kombiniere $15$ und $\frac{2}{15}$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15}}$

Schritt 1.2.3.2.5

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{30}{15}}$

Schritt 1.2.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $15$ .

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Schritt 1.2.3.2.6.1

Faktorisiere $15$ aus $30$ heraus.

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.6.2.1

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15 (1)}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15 \cdot 1}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{\frac{2}{1}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = \frac{- 2}{2}$

Schritt 1.2.3.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.2.3.2.7.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{28}{15} - \frac{{(- \frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{15}$ an.

$e = - \frac{28}{15} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 {(\frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{15}$ an.

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 \frac{4^{2}}{15^{2}}}{4 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 \frac{16}{15^{2}}}{4 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.5

Potenziere $15$ mit $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 (\frac{16}{225})}{4 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{16}{225}$ mit $1$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{4 (\frac{2}{15})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{\frac{4 \cdot 2}{15}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{\frac{8}{15}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{16}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{8 (2)}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{8 \cdot 2}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{225} \cdot 15)$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Faktorisiere $15$ aus $225$ heraus.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{15 (15)} \cdot 15)$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot 15)$

Schritt 1.2.4.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{28}{15} - \frac{2}{15}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 28 - 2}{15}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $2$ von $- 28$ .

$e = \frac{- 30}{15}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $- 30$ durch $15$ .

$e = - 2$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{2}{15} {(y - 1)}^{2} - 2$ ein.

$\frac{2}{15} {(y - 1)}^{2} - 2$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{2}{15} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{2}{15}$

$h = - 2$

$k = 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Schritt 4