Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 6 x = 4 y - 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $4 y - 5 = x^{2} + 6 x$ um.

$4 y - 5 = x^{2} + 6 x$

Schritt 1.1.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = x^{2} + 6 x + 5$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 6 x + 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 6 x + 5$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{6 x}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{6 x}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{6 x}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (3 x)}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (3 x)}{2 (2)} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{5}{4}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Schritt 1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $1 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{5}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $\frac{9}{4}$ durch $1$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{5 - 9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$e = \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 1$ ein.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, - 1)$

Schritt 4