Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 4 x - 2 y + 14 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 2 y + 14 = - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y + 14 = - x^{2} - 4 x$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y = - x^{2} - 4 x - 14$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = - x^{2} - 4 x - 14$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = - x^{2} - 4 x - 14$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- x^{2}}{- 2} + \frac{- 4 x}{- 2} + \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- x^{2}}{- 2} + \frac{- 4 x}{- 2} + \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 2} + \frac{- 4 x}{- 2} + \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{- 2} + \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 (2 x)}{- 2} + \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 (2 x)}{- 2 (1)} + \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 (2 x)}{- 2 \cdot 1} + \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{1} + \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividiere $- 14$ durch $- 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 7$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 7$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 7$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 7 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 7 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = 7 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 7 - \frac{4}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 7 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 7 - 2$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$e = 5$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 5$ ein.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 5$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} + 5$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = 5$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, 5)$

Schritt 4